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一、立體幾何染色問(wèn)題的基礎(chǔ)知識(shí)
在一個(gè)邊長(zhǎng)為n的正方體表面全部涂上藍(lán)色，將其切成邊長(zhǎng)為1的小正方體，則在這些小正方體可分為3面有色、2面有色、1面有色和0面有色四種。從下圖上我們看出一個(gè)正方體有8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱，6個(gè)面，其中頂點(diǎn)上的8個(gè)小正方體3面都涂上了藍(lán)色，在棱上而不在頂點(diǎn)上的小立方體2面涂上了藍(lán)色，正方體的外表面非棱非角部分面涂了藍(lán)色。故：
3面有色的一共有：8個(gè);
2面有色的一共有：12×(n-2)個(gè);
1面有色的一共有：6×(n-2)2個(gè);
0面有色的一共有：(n-2)3個(gè)。
同理，我們可以拓展到長(zhǎng)方體。在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c的長(zhǎng)方體表面全部涂上顏色，將其切成邊長(zhǎng)為1的小正方體，則在這些小正方體可分為3面有色、2面有色、1面有色和0面有色四種，其中：
3面有色的一共有：8個(gè);
2面有色的一共有：4×{(a-2)+(b-2)+(c-2)}個(gè);
1面有色的一共有：2×{(a-2)×(b-2)+(a-2)×(c-2)+(b-2)×(c-2)}個(gè);
0面有色的一共有：(a-2)×(b-2)×(c-2)個(gè)。
二、真題應(yīng)用
1、一個(gè)邊長(zhǎng)為8cm的立方體，表面涂滿油漆，現(xiàn)在將它切割成邊長(zhǎng)為0.5cm的小立方體，問(wèn)兩個(gè)表面有油漆的小立方體有多少個(gè)?
A、144 B、168 C、192 D、256
【中公解析】?jī)蓚�(gè)表面被涂油漆的小立方體在棱上而不在頂點(diǎn)上。大立方體棱長(zhǎng)為8cm，切成小立方體棱長(zhǎng)為0.5cm，則每條棱被分成16段，其中兩端不符合要求，因此每條棱上有14個(gè)小立方體符合。立方體共有12條棱，則符合要求的小立方體有14×12=168個(gè)。故正確答案為B。
2、將一個(gè)8厘米×8厘米×1厘米的白色長(zhǎng)方體木塊的外表面涂上黑色顏料，然后將其切成64個(gè)棱長(zhǎng)1厘米的小正方體，再用這些小正方體堆成棱長(zhǎng)4厘米的大正方體，且使黑色的面向外露的面積要盡量大，問(wèn)大正方體的表面上有多少平方厘米是黑色的( )。
A、84 B、88 C、92 D、96
【中公解析】由長(zhǎng)方體木塊切得的小正方體中，4面黑的只有4塊，2面黑的正方體有24塊，而大正方體2面黑的剛好需要24塊，用完，3面黑的需要8塊，現(xiàn)在只有4塊，少了4，則只能用1面黑的代替，所以每個(gè)都少了2個(gè)面，共4個(gè)，則少8個(gè)面，少了8平方厘米，故大正方體表面黑色的面積為：4×4×6-8=88。故正確答案選B。
3、一個(gè)5×5×5的立方體表面全部涂上紅色，再將其分割成1×1×1的小立方體，取出全部至少有一個(gè)面是紅色的小立方體，組成表面全部是紅色的長(zhǎng)方體，可組成的長(zhǎng)方體的體積最大是：
A、125 B、98 C、96 D、94
【中公解析】至少有一個(gè)面是紅色的小立方體一共有：53-(5-2)3=125-27=98個(gè)，8個(gè)3面涂色的在長(zhǎng)方體8個(gè)頂點(diǎn)處，(5-2)×12=36個(gè)2面涂色的在長(zhǎng)方體的12條棱上，一面涂色的98-8-36=54個(gè)只能放在面的中間和里面。當(dāng)新長(zhǎng)方體體積為98時(shí)，其長(zhǎng)、寬、高分別為7、2、7(98=2×7×7)，2面涂色的需要(7-2)×8=40個(gè)，40>35，不滿足，故排除B;當(dāng)新長(zhǎng)方體體積為96時(shí)，其長(zhǎng)、寬、高分別為6、4、4(96=4×4×6)，2面涂色的需要(4-2)×8+(6-2)×4=32個(gè)，32<35，滿足要求，所以可組成的長(zhǎng)方體的體積最大是96。故正確答案選C。
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