容斥問題是一種集合計數(shù)問題，是數(shù)量關(guān)系中比較常見的一種問題，對于這一類問題，如果不進行系統(tǒng)性的學(xué)習(xí)，沒有掌握好想用的技巧就會覺得比較難以下手，今天專家就詳細地講一下對于這類問題怎么用公式法快速求解。

　　容斥問題的常見考察方式分為二者容斥和三者容斥，根據(jù)題目所給條件總結(jié)為如下幾個公式。

　　二者容斥問題公式：全集=A+B+空白-A∩B

　　三者容斥問題公式：全集=A+B+C+空白-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C

　　= A+B+C+空白-只含兩者-2×A∩B∩C

　　= A+B+C+空白-至少包含兩者-A∩B∩C

　　對于公式大家一定要記清楚并能夠理解記憶，公式很重要，因為容斥問題的考察中絕大多數(shù)題目都是可以直接用公式法求解的，而且只要記住公式就能夠很快的解題，下面我們通過幾個例題看看具體的題目該怎么求解。

　　【例1】某班有50名學(xué)生，在一次測驗中有26人滿分，在第二次測驗中有21人滿分，如果兩次測驗都沒得過滿分的學(xué)生有17人，那么兩次測驗都得滿分的有多少人?

　　A.14 B.12 C.17 D.20

　　【中公解析】通過都題目可以發(fā)現(xiàn)這是一個二者容斥的問題，要求的是兩者的交集，設(shè)為X，全集是50，空白區(qū)域是17，所以根據(jù)公式可以列出式子：50=26+21+17-X，可以算出X等于14，故選擇A答案。

　　【例2】某高校對一些學(xué)生進行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊會計師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參加計算機考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人?

　　A.120 B.144 C.177 D.192

　　【中公解析】通過題目可以發(fā)現(xiàn)這是一個三者容斥問題，要求的全集的大小。集合A可以看成是63，集合B可以看成是89，集合C可以看成是47，只含兩者的是46，三者的交集是24，空白區(qū)域是15，所以列式為：全集=63+89+47+15-46-2×24=120，故選擇A選項。

　　【例3】某服裝公司就消費者對紅、黃、藍三種顏色的偏好情況進行市場調(diào)查，共抽取了40名消費者，發(fā)現(xiàn)其中有20人喜歡紅色、20人喜歡黃色、15人喜歡藍色，至少喜歡兩種顏色的有19人。喜歡三種顏色的有3人，問三種顏色都不喜歡的有幾人?

　　A.1 B.3 C.5 D.7

　　【中公解析】通過題目可以發(fā)現(xiàn)這是一個三者容斥問題，要求的是空白區(qū)域，可以設(shè)為X，全集為40，集合A是20，集合B是20，集合C是15，至少包含兩者的是19，三者的交集是3，根據(jù)公式可以列式為：40=20+20+15+X-19-3，可以解出X等于7，所以選擇D選項。

　　中公教育專家相信大家通過上面三個例題可以看出，容斥問題只要掌握好了相應(yīng)的公式，解題起來是相當(dāng)快速的，所以考生們一定要記住公式并根據(jù)所給條件選擇相應(yīng)的公式求解。

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