二、剩余定理的一般情況
例題4：一個(gè)自然數(shù)P同時(shí)滿足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個(gè)?
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】B。
【考試吧解析】先取其中兩個(gè)條件，除以3余1，除以4余3，即P=4n+3=3a+1，等式兩邊同時(shí)除以3，等式左邊的余數(shù)為n，等式右邊的余數(shù)為1，即n=1,代入上式可知滿足上述兩個(gè)條件的最小的數(shù)為7，則同時(shí)滿足上述兩條件的數(shù)的通項(xiàng)公式為P=12n+7……①，再將①式所得的條件與題干中除以7余4的條件組合成新的條件。即滿足題干中三個(gè)條件的數(shù)P=12n+7=7b+4，等式兩邊同時(shí)除以未知數(shù)較小的系數(shù)7，則左邊余數(shù)為5n，等式右邊的余數(shù)是4，也可認(rèn)為余數(shù)是25，即5n=25，求解得n=5，代入到①式中，即同時(shí)滿足題干中三個(gè)條件的最小的自然數(shù)P=67，則滿足題干三個(gè)條件的數(shù)的通項(xiàng)公式為P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，即符合題意的數(shù)共有11-1+1=11個(gè)數(shù)。
例題5：一個(gè)自然數(shù)P同時(shí)滿足除以11余5，除以7余1，除以5余2，求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個(gè)?
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】D。
【考試吧解析】通過(guò)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)條件屬于差同，所以滿足前兩個(gè)條件的數(shù)的通項(xiàng)公式P=77n-6(n=0,1,2,3……)，即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13，即符合題意的數(shù)共有13-2+1=12個(gè)數(shù)，因此選D。
在剩余問(wèn)題的解決過(guò)程中，遇到一些余數(shù)較為特殊的情況用剩余定理能夠很好地解決。但是在和不同、差不同、余不同的情況下，可以用同余的性質(zhì)來(lái)做，主要思路是先找滿足題干中兩個(gè)條件的通項(xiàng)公式，將三者條件轉(zhuǎn)化成二者條件，然后再次利用同余特性加以解決即可。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不僅僅要學(xué)習(xí)方法，也要多觀察題目，找到更簡(jiǎn)單的思路。考試吧教育專(zhuān)家希望廣大考生在掌握方法的基礎(chǔ)上，多思考、多練習(xí)，一舉成功!
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