容斥問(wèn)題在歷年省考、國(guó)考中的出鏡頻率都很高，考生們需引起足夠重視。對(duì)于容斥問(wèn)題，考生只要認(rèn)真讀題就一定能夠正確地解出此題。接下來(lái)，我們一起來(lái)看一下有關(guān)容斥問(wèn)題的解法。
一、兩者容斥的解法
對(duì)于容斥問(wèn)題，解題關(guān)鍵是首先找到各個(gè)集合，然后理清各集合之間的關(guān)系，然后通過(guò)兩大核心方法便可解決問(wèn)題，兩大核心方法為：
1、將所有區(qū)域化為一層
2、畫(huà)文氏圖
容斥問(wèn)題考察的題型包括求定值、求極值，求定值通�？疾靸煞N題型——兩者容斥、三者容斥，首先來(lái)看兩者容斥問(wèn)題：
例：大學(xué)四年級(jí)某班有50名同學(xué)，其中奧運(yùn)會(huì)志愿者10人，全運(yùn)會(huì)志愿者17人，30人兩種志愿者都不是，則班內(nèi)是全運(yùn)會(huì)志愿者且?jiàn)W運(yùn)會(huì)志愿者的同學(xué)是多少?
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：第一步：根據(jù)題意畫(huà)文氏圖，描述出題中所涉及到的幾個(gè)集合之間的容斥關(guān)系：
第二步：在集合當(dāng)中把每一個(gè)獨(dú)立的封閉區(qū)間，都用一個(gè)單獨(dú)的字母來(lái)表示：
A表示是奧運(yùn)會(huì)自愿者
B表示是全運(yùn)會(huì)志愿者
I表示是全班人數(shù)
X表示全運(yùn)會(huì)且?jiàn)W運(yùn)會(huì)志愿者
Y表示非奧運(yùn)會(huì)且非全運(yùn)會(huì)志愿者
第三步：根據(jù)題意建立等量關(guān)系，根據(jù)把重復(fù)數(shù)的次數(shù)變?yōu)橹粩?shù)1次，或者說(shuō)把重疊的面積變?yōu)橐粚�，做到不重不漏的原則。
I=A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7(利用尾數(shù)法)。
結(jié)論：兩者容斥問(wèn)題，畫(huà)圖之后可知，兩個(gè)圓相交的地方有1層、2層兩種情況，當(dāng)將兩個(gè)集合相加的時(shí)候，2層部分多計(jì)算一次，故若想求全集，需要將重疊區(qū)域減掉，故兩者容斥問(wèn)題的公式為：全集I=A+B-X+Y(I代表全集，A、B分別代表兩個(gè)集合，X代表兩個(gè)集合的交集，Y代表集合之外的部分)
二、三者容斥的解法
接下來(lái)看三者容斥問(wèn)題，三者容斥問(wèn)題所給的已知條件不同，導(dǎo)致其公式不同。
首先來(lái)看第一種三者容斥問(wèn)題：
例：某調(diào)查公司對(duì)甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進(jìn)行調(diào)查，有89人看過(guò)甲片，有47人看過(guò)乙片，有63人看過(guò)丙片，其中有24人三部電影都看過(guò)，20人一部也沒(méi)有看過(guò)，則只看過(guò)其中兩部電影的人數(shù)是多少人?
A、69 B、65 C、57 D、46
解析：第一步：根據(jù)題意描述出題中所涉及的幾個(gè)集合之間的容斥關(guān)系
第二步：在集合當(dāng)中把具有相似屬性的封閉區(qū)間，都用一個(gè)單獨(dú)的字母來(lái)表示。
A表示看甲片的人
B表示看乙片的人
C表示看丙片的人
X表示看過(guò)甲乙丙三種片子的人
Y表示三部電影都沒(méi)看過(guò)的人
I表示總共接受調(diào)查的人數(shù)
O、P、Q表示看過(guò)兩部片子的人
第三步：根據(jù)題意建立等量關(guān)系，根據(jù)把重復(fù)數(shù)的次數(shù)變?yōu)?次，或者說(shuō)把重疊的面積變?yōu)橐粚�，做到不重不漏的原則。
I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-I=89+47+63-2×24+20-125=尾數(shù)是6
結(jié)論：三者容斥問(wèn)題，畫(huà)圖之后可知，三個(gè)圓相交的地方有1層、2層、3層三種情況，當(dāng)將三個(gè)集合相加的時(shí)候，2層和3層區(qū)域分別多計(jì)算一次和兩次，故若想求全集，需要將重疊區(qū)域減掉，故三者容斥問(wèn)題的公式為：
I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y
(I表示全集，A、B、C代表三個(gè)集合，O、P、Q表示兩個(gè)只有兩層的區(qū)域，X表示三層的區(qū)域，Y代表圓之外的部分)
第二種三者容斥問(wèn)題，即容斥極值問(wèn)題：
�、�(A∩B) =A+B-I(I表示全集)
例：小明、小剛兩人一起參加一次英語(yǔ)考試，已知考試共有100道題，且小明做對(duì)了68題，小剛做對(duì)了58題。問(wèn)兩人都最對(duì)的題目至少有幾題?
②(A∩B∩C) =A+B+C-2I
例：小明、小剛和小紅三人一起參加一次英語(yǔ)考試，已知考試共有100道題，且小明做對(duì)了68題，小剛做對(duì)了58題，小紅做對(duì)了78題。問(wèn)三人都最對(duì)的題目至少有幾題?
�、�(A∩B∩C∩D) =A+B+C+D-3I
依此類(lèi)推……
相信考生們通過(guò)以上講解基本上能夠全面把握容斥問(wèn)題，無(wú)論是文科考生還是理工科考生，都可以順利解答出來(lái)。
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