在古書《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”意思是：有一堆物品，三個三個數(shù)剩兩個，五個五個數(shù)剩三個，七個七個數(shù)剩兩個。求這堆物品的個數(shù)。我們稱這類問題為孫子問題。類似問題在公務員考試行測中也會考到，考生們也要對其進行全面了解。

　　一、剩余問題的基礎解法

　　【例1】 一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2。求滿足條件的最小自然數(shù)。

　　【解析】這道例題就是《孫子算經(jīng)》中的問題。這個問題有三個條件，一下子不好解答。那么，我們能不能先求出滿足其中一個條件的數(shù)，然后再逐步增加條件，達到最終解決問題的目的呢?我們試試看。

　　滿足“除以3余2”的數(shù)，有2，5，8，11，14，17，…

　　在上面的幾個數(shù)字中再找滿足“除以5余3”的數(shù)，這個數(shù)就是8，8是同時滿足“除以3余2”、“除以5余3”兩個條件的數(shù)，容易看出，8再加上3與5的公倍數(shù)，仍然滿足這兩個條件，所以滿足這兩個條件的數(shù)有

　　8，23，38，53，68，…

　　在上面的數(shù)中再找滿足“除以7余2”的數(shù)，可以找到23，23是同時滿足“除以3余2”、“除以5余3”、“除以7余2”三個條件的數(shù)。23再加上或減去3，5，7的公倍數(shù)，仍然滿足這三個條件，[3，5，7]=105，因為23<105，所以滿足這三個條件的最小自然數(shù)是23。

　　在例1中，若找到的數(shù)大于[3，5，7]，則應當用找到的數(shù)減去[3，5，7]的倍數(shù)，使得差小于[3，5，7]，這個差即為所求的最小自然數(shù)。

　　二、剩余問題的特殊情況

　　(1)余同(余數(shù)相同)加余

　　【例題2】某校二年級全部共3個班的學生排隊，每排4人，5人或6人，最后一排都只有2人，這個學校二年級有( )名學生。

　　A.120 B.122 C.121 D.123

　　【答案】B

　　【解析】由題意可知該校二年級的學生人數(shù)除以4、5、6均余2，余數(shù)相同，屬于余同，因此該班學生人數(shù)滿足通項公式N=60n+2 ，(n=0，1，2，3……)，當n=2時，N=122，選擇B項。

　　注：n前面的系數(shù)60是取4、5、6三個除數(shù)的最小公倍數(shù)。

　　(2)和同(除數(shù)和余數(shù)的和相同)加和

　　【例題3】某個數(shù)除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500內(nèi)滿足這樣的自然數(shù)有多少個?

　　A.3 B.2 C.4 D.5

　　【答案】A

　　【解析】此題我們通過觀察會發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的和相加均為8，則該自然數(shù)應滿足N=210n+8(n=0，1，2……)因此在0至500以內(nèi)滿足題干條件的自然數(shù)有8，218，428三個數(shù)。

　　注：n前面的系數(shù)210是取5、6、7三個除數(shù)的最小公倍數(shù)。

　　(3)差同(除數(shù)與余數(shù)之差相同)減差

　　【例題4】三位運動員跨臺階，臺階總數(shù)在100-150級之間，第一位運動員每次跨3級臺階，最后一步還剩2級臺階。第二位運動員每次跨4級臺階，最后一步還剩3級臺階。第三位運動員每次跨5級臺階，最后一步還剩4級臺階。問：這些臺階總共有多少級?

　　A. 119 B. 121 C. 129 D. 131

　　【答案】A

　　【解析】通過觀察我們會發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的差均為1，因此臺階數(shù)滿足：N=60n-1(n=1，2，3……)，可發(fā)現(xiàn)A項滿足該通項公式。

　　三、剩余問題的特殊情況

　　用同余特性解題

　　【例題5】三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以3余2，除以7余3，除以11余4，則符合條件的自然數(shù)P有多少個?

　　A.5 B. 4 C. 6 D. 7

　　【答案】B

　　【解析】此題不滿足我們前面所講的特殊情況，但是通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，P滿足除以3余2，除以7余3兩個條件時，在P的基礎上加上4，即(P+4)這個數(shù)一定是能夠被3整除以及被7整除的，因此(P+4)=21n，所以P=21n-4……①，得到的這個通項公式再與除以11余4進行找通項公式。該自然數(shù)P=21n-4=11a+4，等式左邊都是被11除，等式左邊的余數(shù)為10n-4，等式右邊的余數(shù)為4，我們知道一個數(shù)被11除余4，也可以認為這個數(shù)被11除余15，或被11除余26等。根據(jù)同余特性可知，等式左邊的余數(shù)10n-4應與等式右邊的余數(shù)4，15，26等數(shù)值相等。因為n要取整數(shù)，所以取10n-4=26可以得到n=3代入①式得到P=59，所求的59這個數(shù)是滿足題干三個條件的最小數(shù)，所以，滿足題干三個條件的數(shù)P=231n+59(n=1，2，3……)，所以在三位數(shù)以內(nèi)的數(shù)有290，521，752，983四個數(shù)。選擇B項。

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