一、數(shù)字特性
掌握一些最基本的數(shù)字特性規(guī)律，有利于我們迅速的解題。(下列規(guī)律僅限自然數(shù)內(nèi)討論)
(一)奇偶運(yùn)算基本法則
【基礎(chǔ)】奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù);
偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù);
偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù);
奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)。
【推論】
1.任意兩個(gè)數(shù)的和如果是奇數(shù)，那么差也是奇數(shù);如果和是偶數(shù)，那么差也是偶數(shù)。
2.任意兩個(gè)數(shù)的和或差是奇數(shù)，則兩數(shù)奇偶相反;和或差是偶數(shù)，則兩數(shù)奇偶相同。
(二)整除判定基本法則
1.能被2、4、8、5、25、125整除的數(shù)的數(shù)字特性
能被2(或5)整除的數(shù)，末一位數(shù)字能被2(或5)整除;
能被4(或 25)整除的數(shù)，末兩位數(shù)字能被4(或25)整除;
能被8(或125)整除的數(shù)，末三位數(shù)字能被8(或125)整除;
一個(gè)數(shù)被2(或5)除得的余數(shù)，就是其末一位數(shù)字被2(或5)除得的余數(shù);
一個(gè)數(shù)被4(或 25)除得的余數(shù)，就是其末兩位數(shù)字被4(或 25)除得的余數(shù);
一個(gè)數(shù)被8(或125)除得的余數(shù)，就是其末三位數(shù)字被8(或125)除得的余數(shù)。
2.能被3、9整除的數(shù)的數(shù)字特性
能被3(或9)整除的數(shù)，各位數(shù)字和能被3(或9)整除。
一個(gè)數(shù)被3(或9)除得的余數(shù)，就是其各位相加后被3(或9)除得的余數(shù)。
3.能被11整除的數(shù)的數(shù)字特性
能被11整除的數(shù)，奇數(shù)位的和與偶數(shù)位的和之差，能被11整除。
(三)倍數(shù)關(guān)系核心判定特征
如果a∶b=m∶n(m，n互質(zhì))，則a是m的倍數(shù);b是n的倍數(shù)。
如果x=mny(m，n互質(zhì))，則x是m的倍數(shù);y是n的倍數(shù)。
如果a∶b=m∶n(m，n互質(zhì))，則a±b應(yīng)該是m±n的倍數(shù)。
二、乘法與因式分解公式
正向乘法分配律：(a+b)c=ac+bc;
逆向乘法分配律：ac+bc=(a+b)c;(又叫“提取公因式法”)
平方差：a^2-b^2=(a-b)(a+b);
完全平方和/差：(a±b)^2=a^2±2ab+b^2;
立方和：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);
立方差：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2);
完全立方和/差：(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3;
等比數(shù)列求和公式：S=a1(1-q^n)/(1-q) (q≠1);
等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。
三、三角不等式
丨a+b丨≤丨a丨+丨b丨;丨a-b丨≤丨a丨+丨b丨;丨a-b丨≥丨a丨-丨b丨;-丨a丨≤a≤丨a丨;丨a丨≤b?-b≤a≤b。
四、某些數(shù)列的前n項(xiàng)和
1+2+3+…+n=n(n+1)/2;
1+3+5+…+(2n-1)=n^2;
2+4+6+…+(2n)=n(n+1);
1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2=n(4n^2-1)/3
1^3+2^3+3^3+…+n^3==(n+1)^2*n^2/4
1^3+3^3+5^3+…+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
1×2+2×3+…+n(n+1)=n*(n+1)*(n+2)/3
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