國(guó)家公務(wù)員考試和多省公務(wù)員考試的數(shù)學(xué)運(yùn)算部分，很多考生首選整除思想，但是有些題目我們會(huì)發(fā)覺(jué)題目中的被除數(shù)不滿足能被整除的條件，即有余數(shù)，這類題目稱為剩余問(wèn)題，常見(jiàn)形式為：一個(gè)數(shù)同時(shí)滿足除以a余x，除以b余y,除以c余z,其中a、b、c兩兩互質(zhì)，求滿足這樣條件的數(shù)是多少(有幾個(gè))。對(duì)于這類題目我們?cè)跊](méi)有學(xué)習(xí)剩余定理之前往往只能采用枚舉法或者是代入排除法來(lái)解決。如果問(wèn)這個(gè)數(shù)是多少，顯然大家習(xí)慣用代入排除法;如果問(wèn)有幾個(gè)，就要用枚舉法了，而這種方法是比較繁瑣的。在行測(cè)考試中時(shí)間對(duì)大家來(lái)說(shuō)是最重要的，因此掌握此種題型的解題方法對(duì)大家在做題準(zhǔn)確率以及做題速度上都有很大幫助。下面給大家講解一下剩余定理�？疾炷男╊}型以及其快速解題方法。
一、剩余定理的特殊情況
(1)余同(余數(shù)相同)：除數(shù)的最小公倍數(shù)+余數(shù)
例題1：三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以4余2，除以5余2，除以6余2，則符合條件的自然數(shù)P有多少個(gè)?
A.120 B.122 C.121 D.123
【答案】B。
【解析】一個(gè)數(shù)除以4、5、6均余2，余數(shù)相同，屬于余同，因此這個(gè)數(shù)滿足通項(xiàng)公式N=60n+2 ，(n=0,1,2,3……)，當(dāng)n=2時(shí)，N=122,選擇B項(xiàng)。
(2)和同(除數(shù)和余數(shù)的和相同)：除數(shù)的最小公倍數(shù)+和(除數(shù)加余數(shù)的和)
例題2：三位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以5余3，除以6余2，除以7余1，則符合條件的自然數(shù)P有多少個(gè)?
A.3 B.2 C.4 D.5
【答案】D。
【解析】此題除數(shù)與余數(shù)的和相加均為8，則該自然數(shù)應(yīng)滿足N=210n+8(n=0,1,2……)，因此在0至999以內(nèi)滿足題干條件的自然數(shù)有8，218，428，638，848五個(gè)數(shù)，因此選D。
(3)差同(除數(shù)減余數(shù)之差相同)：除數(shù)的最小公倍數(shù)-差(除數(shù)減余數(shù)的和)
例題3：某校三年級(jí)同學(xué)，每5人一排多1人，每6人一排多2人，每7人一排3多人，問(wèn)這個(gè)年級(jí)至少有多少人?
A.206 B.202 C.237 D.302
【答案】A。
【解析】
方法一：代入排除法(略)。
方法二：通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)除數(shù)與余數(shù)的差均為4，所以此數(shù)滿足：N=210n-4(n=1,2,3……)，當(dāng)n=1時(shí)，算得次數(shù)為206，因此選A。
二、剩余定理的一般情況
例題4：一個(gè)自然數(shù)P同時(shí)滿足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個(gè)?
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】B。
【解析】先取其中兩個(gè)條件，除以3余1，除以4余3，即P=4n+3=3a+1，等式兩邊同時(shí)除以3，等式左邊的余數(shù)為n,等式右邊的余數(shù)為1，即n=1,代入上式可知滿足上述兩個(gè)條件的最小的數(shù)為7，則同時(shí)滿足上述兩條件的數(shù)的通項(xiàng)公式為P=12n+7……①，再將①式所得的條件與題干中除以7余4的條件組合成新的條件。即滿足題干中三個(gè)條件的數(shù)P=12n+7=7b+4，等式兩邊同時(shí)除以未知數(shù)較小的系數(shù)7，則左邊余數(shù)為5n，等式右邊的余數(shù)是4，也可認(rèn)為余數(shù)是25，即5n=25，求解得n=5，代入到①式中，即同時(shí)滿足題干中三個(gè)條件的最小的自然數(shù)P=67，則滿足題干三個(gè)條件的數(shù)的通項(xiàng)公式為P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，即符合題意的數(shù)共有11-1+1=11個(gè)數(shù)。
例題5：一個(gè)自然數(shù)P同時(shí)滿足除以11余5，除以7余1，除以5余2，求滿足這樣條件的三位數(shù)共有多少個(gè)?
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】D。
【解析】通過(guò)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)條件屬于差同，所以滿足前兩個(gè)條件的數(shù)的通項(xiàng)公式P=77n-6(n=0,1,2,3……)，即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13，即符合題意的數(shù)共有13-2+1=12個(gè)數(shù)，因此選D。
在剩余問(wèn)題的解決過(guò)程中，遇到一些余數(shù)較為特殊的情況用剩余定理能夠很好地解決;但是在和不同、差不同、余不同的情況下，可以用同余的性質(zhì)來(lái)做，主要思路是先找滿足題干中兩個(gè)條件的通項(xiàng)公式，將三者條件轉(zhuǎn)化成二者條件，然后再次利用同余特性加以解決即可。在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不僅僅要學(xué)習(xí)方法，也要多觀察題目，找到更簡(jiǎn)單的思路。
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