傳說(shuō)漢朝大將韓信用一種特殊方法清點(diǎn)士兵的人數(shù)。他的方法是：讓士兵先列成三列縱隊(duì)(每行三人)，再列成五列縱隊(duì)(每行五人)，最后列成七列縱隊(duì)(每行七人)。他只要知道這隊(duì)士兵大約的人數(shù)，就可以根據(jù)這三次列隊(duì)排在最后一行的士兵是幾個(gè)人，而推算出這隊(duì)士兵的準(zhǔn)確人數(shù)。韓信當(dāng)時(shí)看到的三次列隊(duì)，最后一行的士兵人數(shù)分別是2人、2人、4人，并知道這隊(duì)士兵約在三四百人之間，你能很快推算出這隊(duì)士兵的人數(shù)嗎?
如果你掌握了中國(guó)剩余定理，你是可以做到的，下面給大家介紹一下中國(guó)剩余定理的幾種形式。
一.余同加余
現(xiàn)在有一堆蘋果，分給一群人，每個(gè)人分3個(gè)，剩兩個(gè)，每個(gè)人分4個(gè)，剩兩個(gè)，如何求蘋果總數(shù)的表達(dá)式呢?我們來(lái)分析一下，根據(jù)已知條件我們可知蘋果數(shù)除以3余2，除以4也余2，余數(shù)相同都為2，我們?nèi)绻O(shè)蘋果總數(shù)為X,說(shuō)明(X-2)既能被3整除又能被4整除，也就是能被3和4的最小公倍數(shù)12整除，所以X-2=12N,X=12N+2，所以當(dāng)余數(shù)相同時(shí)，表達(dá)式為除數(shù)的公倍數(shù)加上相同的余數(shù)，這就是余同加余的含義。
二.和同加和
現(xiàn)在還是有一堆蘋果，每個(gè)人分4個(gè)剩1個(gè)，每個(gè)人分3個(gè)剩2個(gè)，求蘋果總數(shù)的表達(dá)式，分析一下題干，兩種情況余數(shù)不同，但是除數(shù)與余數(shù)的和相同，都為5，除以4余1，是相當(dāng)于除以4余5，除以3余2，相當(dāng)于除以3余5，那么現(xiàn)在我們就把和同的形式轉(zhuǎn)化成了余同的形式，根據(jù)上段的結(jié)論，蘋果數(shù)的表達(dá)式X=12N+5，從而我們得出了第二個(gè)結(jié)論，當(dāng)除數(shù)與余數(shù)的和相同時(shí)，就用除數(shù)的公倍數(shù)加上這個(gè)相同的和。
三.差同減差
一堆蘋果，每個(gè)人分4個(gè)剩3個(gè)，每個(gè)人分5個(gè)剩4個(gè)，求蘋果總數(shù)的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)兩種情況雖然余數(shù)不同，但是除數(shù)與余數(shù)的差值相同，每個(gè)人分4個(gè)剩3個(gè)，說(shuō)明如果再有一個(gè)蘋果就可以再分給一個(gè)人，也就相當(dāng)于每個(gè)人分4個(gè)少1個(gè)，同理每個(gè)人分5個(gè)剩4個(gè)相當(dāng)于每個(gè)人分5個(gè)少一個(gè)，說(shuō)明蘋果數(shù)除以4余-1，除以5余-1，現(xiàn)在我們就把差同的形式轉(zhuǎn)化成了余同的形式了。蘋果數(shù)X=20N-1,從而得出了第三個(gè)結(jié)論，當(dāng)除數(shù)與余數(shù)的差相同時(shí)，就用除數(shù)的公倍數(shù)加上這個(gè)相同的差
四.逐步滿足法
一堆蘋果每個(gè)人分7個(gè)剩3個(gè)，每個(gè)人分3個(gè)剩2個(gè)，求蘋果總數(shù)的表達(dá)式。這道題余數(shù)不同，和不同，差也不同，這類問(wèn)題只能用逐步滿足法，也就是逐一滿足條件，我們首先要找出符合題目中所有條件的最小數(shù)字，根據(jù)第一句話可知蘋果數(shù)可表達(dá)為7N+3的形式，當(dāng)N=2時(shí)符合第二個(gè)條件，所以滿足條件的最小數(shù)為17，蘋果總數(shù)的表達(dá)式為這個(gè)最小數(shù)加上除數(shù)的公倍數(shù)，即17+21N.
學(xué)習(xí)完這些理論，下面我們來(lái)解一下韓信點(diǎn)兵這個(gè)題目，根據(jù)已知條件可知人數(shù)除以3余2，除以5余2，除以7余4，根據(jù)前兩個(gè)條件可知人數(shù),可首先表示成15N+2，當(dāng)N=2時(shí)，滿足除以7余4，所以滿足所有條件的最小數(shù)為32，人數(shù)的最終表達(dá)式為32加3、5、7的公倍數(shù)，即32+105N.又已知總?cè)藬?shù)在300到400之間，所以令N=3，總數(shù)為32+105×3=347.
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