組合數(shù)學(xué)是一個既古老又年輕的數(shù)學(xué)分支。說它古老,因為它所研究的問題有的可追溯到很久很久以前。然而,它形成一個新的分支還是最近若干年的事,是受到電子計算機蓬勃發(fā)展影響的結(jié)果。��

　　本節(jié)中的排列與組合、容斥原理、抽屜原理都是組合數(shù)學(xué)的內(nèi)容。��

　　組合數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容是計數(shù)和枚舉，即計算具有某種特性的對象有多少,并進而把它完全列舉出來�！坝嫈�(shù)”在許多方面有其重大作用,比如本節(jié)中的概率部分，就是計數(shù)的應(yīng)用——要計算發(fā)生具有某種性質(zhì)的事件的概率,往往首先要計算出具有該性質(zhì)的事件的數(shù)目。��

　　◎排列與組合

　　加法原理與乘法原理是在計數(shù)研究中最常用也是最基本的兩個法則。��

　　一、加法原理��

　　完成一件事有兩類不同方案(其中的方法互不相同)。在第1類方案中有�玬種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有m+n種不同的方法。����

　　例如：小華正準(zhǔn)備出國留學(xué)，不是去A國，就是去B國。其中A國有4所大學(xué)向他發(fā)出了錄取通知，而B國則有5所大學(xué)向他發(fā)出了入學(xué)邀請。故小華共有9所大學(xué)可以選擇，即共有9種留學(xué)方案。��

　　二、乘法原理��

　　完成一件事需要兩個步驟(第1步方法的選取不會影響第2步方法的選取)。做第1步有�玬種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有m×n種不同的方法。����

　　例如，從A到B有3條不同的道路,從B到C有2條不同的道路,則從A經(jīng)B到C的道路數(shù)n=3×2=6。

　　三、排列與組合��

　　排列組合的難點主要體現(xiàn)在對排列組合原理的理解與運用上，也即確定是排列還是組合。排列與組合，前者與順序有關(guān)，后者與順序無關(guān)�？忌�可以通過任選一種安排好的情況，調(diào)整其中兩個物體的前后順序，看是否會出現(xiàn)新的情形，若是則與順序有關(guān)，反之則與順序無關(guān)。對基本的排列組合題能夠迅速判斷是排列還是組合，并寫出對應(yīng)方法數(shù)�？忌�可通過多考慮一些應(yīng)用環(huán)境來鍛煉自己判斷排列組合的能力。��

　　排列公式：��

　　組合公式：

　　◎容斥原理

　　容斥原理又稱包含排斥原理，它是解決組合計數(shù)問題的重要工具。��

　　加法原理告訴我們，在集合間沒有交集的情況下，求這些集合并集的簡單計數(shù)公式。容斥原理則告訴我們一般情況下的公式，此時集合間可以重疊而沒有限制。��

　　例如，在1到30的正整數(shù)中，有多少個整數(shù)能被2整除或能被3整除?��

　　由于從1開始每連續(xù)2個的第2個數(shù)能被2整除，所以1到30中能被2整除的整數(shù)共30÷2=15個，它們分別是��

　　2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22，24,26,28,30。��

　　同理，由于從1開始每連續(xù)3個的第3個數(shù)能被3整除，所以1到30中能被3整除的整數(shù)共30÷3=10個，它們分別是��

　　3,6,9,12,15,18,21,24,27,30。��

　　又，同時能被2和3整除的整數(shù)共30÷(2×3)=5個，分別是��

　　6,12,18,24,30。��

　　所以計數(shù)時如果計算15+10=25，則重復(fù)計算了5個數(shù)。容斥原理可以幫我們巧妙地解決這一問題。��

　　|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|��

　　|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|��

　　其中，兩集合容斥原理用簡單語言敘述就是：��

　　滿足條件1的個數(shù)+滿足條件2的個數(shù)-都滿足的個數(shù)=總數(shù)-都不滿足的個數(shù)=滿足至少一個條件的個數(shù)。��

　　◎抽屜原理

　　抽屜原理是組合數(shù)學(xué)里最簡單也是最基本的原理：�玭+1個物品放入n個抽屜中，則至少有一個抽屜，其中有兩個或更多的物品。也有人稱之為“鴿巢原理”,即“若有n個鴿子巢,n+1只鴿子,則至少有一個鴿子巢里至少有兩只鴿子”。����

　　從這樣一個看來是顯而易見的原理出發(fā),可以導(dǎo)出許多組合數(shù)學(xué)中的并不那么顯而易見的有趣結(jié)論。下面先舉幾個例子,通過例子說明利用抽屜原理的一般步驟,從不同的例題中總結(jié)出規(guī)律。��

　　例：��

　　抽屜里有10雙手套,從中取11只出來,其中至少有兩只是完整配對的。��

　　某次會議有�玭位代表參加,每一位代表至少認(rèn)識其余n-1位中的一位,則n位代表中,至少有兩位認(rèn)識的人數(shù)相等。����

　　公考中，抽屜原理題目表述多為“黑色布袋中有……(具體物品)，至少要取出多少個，才可以保�┳C……��(滿足目標(biāo))”。��

　　解決方案為反向構(gòu)造。即假設(shè)所有物品并非放在布袋中，而是在自己手中，然后逐一發(fā)出，在發(fā)出的過程中盡可能不要滿足題目的目標(biāo)，直到滿足目標(biāo)為止。那么在盡量不滿足題目要求情況下發(fā)出的最多數(shù)目就是題目的答案。

　　相關(guān)推薦：

　　2014年公務(wù)員考試行測專項備考：數(shù)字推理

　　2014公務(wù)員行測推理判斷：翻譯推理題型的解析

　　2014公務(wù)員行測技巧:圖形推理命題方式及解題方法