【考點(diǎn)7】金融期權(quán)估價(jià)

　　已知股價(jià)變化，求上行下行乘數(shù)。

　　(1)先求上升、下降百分比，再求乘數(shù);

　　(2)直接求乘數(shù)。

　　【例·計(jì)算題】D公司是一家上市公司，其股票于20×1年8月1日的收盤(pán)價(jià)為每股40元。有一種以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為42元，到期時(shí)間是3個(gè)月。3個(gè)月以內(nèi)公司不會(huì)派發(fā)股利，3個(gè)月以后股價(jià)有2種變動(dòng)的可能：上升到46元或者下降到30元。3個(gè)月到期的國(guó)庫(kù)券利率為4%(年報(bào)價(jià)利率)。

　　要求：

　　(1)利用風(fēng)險(xiǎn)中性原理，計(jì)算D公司股價(jià)的上行概率和下行概率，以及看漲期權(quán)的價(jià)值。

　　(2)如果該看漲期權(quán)的現(xiàn)行價(jià)格為2.5元，請(qǐng)根據(jù)套利原理，構(gòu)建一個(gè)投資組合進(jìn)行套利。

　　[答疑編號(hào)5768090203]

　　『正確答案』

　　(1)上行乘數(shù)=46/40=1.15

　　下行乘數(shù)=30/40=0.75

　　p=(1+r-d)/(u-d)=(1+1%-0.75)/(1.15-0.75)=0.65

　　下行概率=1-上行概率=0.35

　　Cu=46-42=4(元)

　　Cd=0(元)

　　看漲期權(quán)價(jià)值=(4×0.65+0×0.35)/(1+1%)=2.57(元)

　　或者：

　　(1)股價(jià)上升百分比=(46-40)/40×100%=15%

　　股價(jià)下降百分比=(30-40)/30×100%=-25%

　　Cu=46-42=4(元)

　　Cd=0(元)

　　期望報(bào)酬率=4%/4=上行概率×15%+(1-上行概率)×(-25%)

　　上行概率=0.65

　　下行概率=1-上行概率=0.35

　　看漲期權(quán)價(jià)值=(4×0.65+0×0.35)/(1+1%)=2.57(元)

　　(2)套期保值比率=(4-0)/(46-30)=0.25

　　借款=30×0.25/(1+1%)=7.43(元)

　　由于期權(quán)價(jià)格(2.5元)低于期權(quán)價(jià)值(2.57元)，可以賣(mài)空0.25股股票，借出款項(xiàng)7.43元，同時(shí)買(mǎi)入1股看漲期權(quán)。

　　【例·計(jì)算分析題】D股票當(dāng)前市價(jià)為25.00元/股，市場(chǎng)上有以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)交易，有關(guān)資料如下：

　　(1)D股票的到期時(shí)間為半年的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格均為25.30元;

　　(2)根據(jù)D股票歷史數(shù)據(jù)測(cè)算的連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4;

　　(3)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率4%。

　　要求：

　　(1)若年收益的標(biāo)準(zhǔn)差不變，利用兩期二叉樹(shù)模型計(jì)算股價(jià)上行乘數(shù)與下行乘數(shù)，并確定以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的看漲期權(quán)的價(jià)格;

　　(2)利用看漲期權(quán)-看跌期權(quán)平價(jià)定理確定看跌期權(quán)價(jià)格。

　　『正確答案』

　　d=1/1.2214=0.8187

　　上行概率=p=(1+r-d)/(u-d)=(1+1%-0.8187)/(1.2214-0.8187)=0.4750

　　下行概率=p=1-0.4750=0.5250

　　Cu=(12.00×0.4750+0×0.5250)/(1+4%/4)=5.64(元)

　　C0=(5.64×0.4750+0×0.5250)/(1+4%/4)=2.65(元)

　　(2)看漲期權(quán)價(jià)格-看跌期權(quán)價(jià)格=標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格-執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值

　　看跌期權(quán)價(jià)格P=看漲期權(quán)價(jià)格-標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格+執(zhí)行價(jià)格現(xiàn)值

　　=2.65-25.00+25.30/(1+2%)

　　=2.45(元)

　　【提示】當(dāng)年的標(biāo)準(zhǔn)答案中還給出了如下答案：

　　看跌期權(quán)價(jià)格=2.65-25.00+25.30/(1+1%)2

　　由于兩種方法均為正確，建議按照第一種方法掌握。

　　【例·綜合題】甲公司為一家上市公司，該公司目前的股價(jià)為20元，目前市場(chǎng)上有該股票的交易和以該股票為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)交易。有關(guān)資料如下：

　　(1)過(guò)去4年該公司沒(méi)有發(fā)放股利，股票交易收益率的資料如下：

　　(2)甲股票的到期時(shí)間為6個(gè)月的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)執(zhí)行價(jià)格均為25元。

　　(3)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率為4%。

　　要求：(1)計(jì)算連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差和年復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差;

　　『正確答案』連續(xù)復(fù)利收益率的期望值=(29.57%+46.19%+71.65%-27.05%)/4=30.09%

　　方差=[(29.57%-30.09%)2+(46.19%-30.09%)2+(71.65%-30.09%)2+(-27.05%-30.09%)2]/3=17.51%

　　連續(xù)復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差=(0.1751) 1/2=41.84%

　　年復(fù)利收益率的期望值=(34.40%+58.71%+104.74%-23.70%)/4=43.54%

　　方差=[(34.40%-43.54%)2+(58.71%-43.54%)2+(104.74%-43.54%)2+(-23.70%-43.54%)2]/3=28.60%

　　年復(fù)利收益率的標(biāo)準(zhǔn)差=(0.2860) 1/2=53.48%

　　(2)利用兩期二叉樹(shù)(每期3個(gè)月)模型確定看漲期權(quán)的價(jià)格(假設(shè)期權(quán)到期日之前不發(fā)放股利)。

　　『正確答案』

　　首先，計(jì)算上行乘數(shù)和下行乘數(shù)

　　其次，計(jì)算上行概率和下行概率

　　上行概率P=(1+r-d)/(u-d)=(1+1%-0.8112)/(1.2327-0.8112)=0.4716

　　下行概率=1-0.4716=0.5284

　　或根據(jù)：1%=上行概率×(1.2327-1)+(1-上行概率)×(0.8122-1)

　　計(jì)算得出：上行概率=0.4716

　　下行概率=1-0.4716=0.5284

　　第三，計(jì)算看漲期權(quán)價(jià)格

　　Cu=(5.39×0.4716+0×0.5284)/(1+1%)=2.5168(元)

　　Cd=(0×0.4716+0×0.5284)/(1+1%)=0(元)

　　C0=(2.5168×0.4716+0×0.5284)/(1+1%)=1.18(元)

　　(3)某投資者采用多頭對(duì)敲期權(quán)投資策略，通過(guò)計(jì)算回答到期時(shí)股票價(jià)格上升或下降幅度超過(guò)多少時(shí)投資者才獲得正的收益(計(jì)算中考慮資金時(shí)間價(jià)值因素)。

　　『正確答案』

　　看跌期權(quán)價(jià)格=看漲期權(quán)價(jià)格-標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格+執(zhí)行價(jià)格現(xiàn)值=1.18-20+25/(1+2%)=5.69(元)

　　多頭對(duì)敲組合成本=1.18+5.69=6.87(元)

　　對(duì)于多頭對(duì)敲組合而言，只有在股價(jià)偏離執(zhí)行價(jià)格的差額超過(guò)期權(quán)購(gòu)買(mǎi)成本，投資者才能獲得正的收益。在考慮資金時(shí)間價(jià)值的情況下，偏離差額需要超過(guò)6.87×(1+2%)=7.01(元)，股價(jià)上升幅度超過(guò)(25+7.01-20)/20×100%=60.05%，股價(jià)下降幅度超過(guò)[20-(25-7.01)]/20×100%=10.05%，投資者才能獲得正的收益。

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