數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題五答案

　　一、選擇題：(每小題5分，共50分)

　　題號12345678910

　　答案CBADDABCCD

　　二、填空題：(每小題5分，共30分)

　　11. ; 12. ; 13. ; 14. 2或 ; 15. ; 16. 9.

　　三、解答題：(5大題，共70分)

　　17.(1)由 ，得 ------------3分

　　為銳角， ， -------5分

　　--------------------------6分

　　(2) ---8分

　　又 ， ，得 ， --------------------------10分

　　--------------------------12分

　　(若通過 得出 ，求出 ，

　　未舍去 ， 得兩解，扣2分.)

　　18.(1)設(shè)點 ，由 得 ， ，

　　由 ，得 ， ------------------------4分

　　即 . ---------------------6分

　　(2)由(1)知 為拋物線 ： 的焦點， 為過焦點 的直線與 的兩個交點.

　　①當直線 斜率不存在時，得 ， ， . ---8分

　�、诋斨本�斜率存在且不為0時，設(shè) ，代入 得

　　.設(shè) ，

　　則 ，得 ， ----12分

　　(或 )

　　，此時 ，由 得

　　。 ---------------14分

　　19.解法一：

　　(1)在 中， ， ，

　　∴ ，取 中點 ，

　　， ，

　　在 中， ， ，又 均為銳角，∴ ， ---------------2分

　　，又 外， . ---------------4分

　　(2)∵平面 平面 ，∴ ，過 作 于 ，連結(jié) ，則 ，

　　為二面角 的平面角， ------------------------6分

　　易知 = ，∴ ，

　　二面角 的大小為 . ------------------------9分

　　(其它等價答案給同樣的得分)

　　(3) ， 點到平面 的距離，就是 到平面 的距離，-------------------------------11分

　　過 作 于 ，則 ， 的長度即為所求， 由上 (或用等體積 求)----------------------------------14分

　　解法二：

　　如圖，建立圖示空間直角坐標系.

　　則 ， ， ， ， .

　　(1) (2)利用 ，其中 分別為兩個半平面的法向量，

　　或利用 求解.

　　(3)利用 ，其中 為平面 的法向量。

　　20.(1) ，∴ ①

　　又 ，∴ ，即 ②

　　由①②得 ， .又 時，①、②不成立，故 .------2分

　　∴ ，設(shè)x1、x2是函數(shù) 的兩個極值點，則x1、x2是方程 =0的兩個根， ，

　　∴x1+x2= ，又∵ A、O、B三點共線， = ，

　　∴ =0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2= ，∴b=0. ----------------6分

　　(2) 時， ， -----------------------7分

　　由 得 ，可知 在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減， . ---------------------9分

　�、儆� 得 的值為1或2.(∵ 為正整數(shù)) -----------------11分

　�、� 時，記 在 上切線斜率為2的切點的橫坐標為 ，

　　則由 得 ，依題意得 ，

　　得 與 矛盾.

　　(或構(gòu)造函數(shù) 在 上恒正)

　　綜上，所求 的值為1或2. -----------------------14分

　　21.(1)∵ 為正數(shù)， ①， =1，∴ >0(n∈N*)，……… 1分

　　又 ②，①—②兩式相減得 ，

　　∴ 與 同號， ---------------------4分

　　∴ 對n∈N*恒成立的充要條件是 >0. ---------------------7分

　　由 = >0，得 >7　. ---------------------8分

　　(2)證法1：假設(shè)存在 ，使得對任意正整數(shù) 都有 　.

　　則 ，則 >17　. --------------------9分

　　另一方面， = = ，---------11分

　　∴ ， ，……， ，

　　∴ ，∴ = ， ①

　　--------------------------------14分

　　當m>16時，由①知， ，不可能使 對任意正整數(shù)n恒成立，

　　--------------------------------15分

　　∴m≤16，這與 >17矛盾，故不存在m，使得對任意正整數(shù)n都有 　.

　　--------------------------------16分

　　(2)證法2：假設(shè)存在m，使得對任意正整數(shù)n都有 　.

　　則 ，則 >17　. --------------------9分

　　另一方面， ， ------------------11分

　　∴ ， ，……， ，

　　∴ ， ① -----------------14分

　　當m>16時，由①知， ，不可能使 對任意正整數(shù)恒成立，

　　--------------------------15分

　　∴m≤16，這與 >17矛盾，故不存在m，使得對任意正整數(shù)n都有 　。 -----------------------------16分

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