競(jìng)賽講座21

　　-應(yīng)用題選講

　　應(yīng)用題聯(lián)系實(shí)際，生動(dòng)地反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系，能否從具體問題中歸納出數(shù)量關(guān)系，反映了一個(gè)人分析問題、解決問題的實(shí)際能力.

　　列方程解應(yīng)用題，一般應(yīng)有審題、設(shè)未知元、列解方程、檢驗(yàn)、作結(jié)論等幾個(gè)步驟.下面從幾個(gè)不同的側(cè)面選講一部分競(jìng)賽題，從中體現(xiàn)解應(yīng)用題的技能和技巧.

　　1.合理選擇未知元

　　例1 (1983年青島市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)某人騎自行車從A地先以每小時(shí)12千米的速度下坡后，以每小時(shí)9千米的速度走平路到B地，共用55分鐘.回來(lái)時(shí)，他以每小時(shí)8千米的速度通過平路后，以每小時(shí)4千米的速度上坡，從B地到A地共用 小時(shí)，求A、B兩地相距多少千米?

　　解法1 (選間接元)設(shè)坡路長(zhǎng)x千米，則下坡需 依題意列方程：

　　解之，得x=3.

　　答：A、B兩地相距9千米.

　　解法2(選直接元輔以間接元)設(shè)坡路長(zhǎng)為x千米，A、B兩地相距y千米，則有如下方程組

　　解法3(選間接元)設(shè)下坡需x小時(shí)，上坡需y小時(shí)，依題意列方程組：

　　例2 (1972年美國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)若一商人進(jìn)貨價(jià)便誼8%，而售價(jià)保持不變，那么他的利潤(rùn)(按進(jìn)貨價(jià)而定)可由目前的x%增加到(x+10)%，x等于多少?

　　解 本題若用直接元x列方程十分不易，可引入輔助元進(jìn)貨價(jià)M，則0.92M是打折扣的價(jià)格，x是利潤(rùn)，以百分比表示，那么寫出售貨價(jià)(固定不變)的等式，可得：

　　M(1+0.01x)=0.92M[1+0.01(x+10)].

　　約去M，得

　　1+0.01x=0.92[1+01.1(x+10)].

　　解之，得 x=15.

　　例3 在三點(diǎn)和四點(diǎn)之間，時(shí)鐘上的分針和時(shí)針在什么時(shí)候重合?

　　分析 選直接元，設(shè)兩針在3點(diǎn)x分鐘時(shí)重合，則這時(shí)分針旋轉(zhuǎn)了x分格，時(shí)針旋轉(zhuǎn)了(x-15)分析，因?yàn)榉轴樞�轉(zhuǎn)的速度是每分鐘1分格，旋轉(zhuǎn)x分格需要 分鐘，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的速度是每分鐘 分格，旋轉(zhuǎn)(x-15)分格要 例4(1985年江蘇東臺(tái)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)從兩個(gè)重為m千克和n千克，且含銅百分?jǐn)?shù)不同的合金上，切下重量相等的兩塊，把所切下的每一塊和另一種剩余的合金加在一起熔煉后，兩者的含銅百分?jǐn)?shù)相等，問切下的重量是多少千克?

　　解 采用直接元并輔以間接元，設(shè)切下的重量為x千克，并設(shè)m千克的銅合金中含銅百分?jǐn)?shù)為q1，n千克的銅合金中含銅百分?jǐn)?shù)為q2，則切下的兩塊中分別含銅xq1千克和xq2千克，混合熔煉后所得的兩塊合金中分別含銅[xq1+(n-x)q2]千克和[xq2+(m-x)q1]千克，依題意，有：

　　2.多元方程和多元方程組

　　例5 (1986年揚(yáng)州市初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)A、B、C三人各有豆若干粒，要求互相贈(zèng)送，先由A給B、C，所給的豆數(shù)等于B、C原來(lái)各有的豆數(shù)，依同法再由B給A、C現(xiàn)有豆數(shù)，后由C給A、B現(xiàn)有豆數(shù)，互送后每人恰好各有64粒，問原來(lái)三人各有豆多少粒?

　　解 設(shè)A、B、C三人原來(lái)各有x、y、z粒豆，可列出下表：

　　則有： 解得：x=104，y=56，z=32.

　　答：原來(lái)A有豆104粒，B有56粒，C有32粒.

　　例6(1985年寧波市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)某工廠有九個(gè)車間，每個(gè)車間原有一樣多的成品，每個(gè)車間每天能生產(chǎn)一樣多的成品，而每個(gè)檢驗(yàn)員檢驗(yàn)的速度也一樣快，A組8個(gè)檢驗(yàn)員在兩天之間將兩個(gè)車間的所有成品(所有成品指原有的和后來(lái)生產(chǎn)的成品)檢驗(yàn)完畢后，再去檢驗(yàn)另兩個(gè)車間的所有成品，又用了三天檢驗(yàn)完畢，在此五天內(nèi)，B組的檢驗(yàn)員也檢驗(yàn)完畢余下的五個(gè)車間的所有成品，問B組有幾個(gè)檢驗(yàn)員?

　　解 設(shè)每個(gè)車間原有成品x個(gè)，每天每個(gè)車間能生產(chǎn)y個(gè)成品;則一個(gè)車間生產(chǎn)兩天的所有成品為(x+2y)個(gè)，一個(gè)車間生產(chǎn)5天的所有成品為(x+5y)個(gè)，由于A組的8個(gè)檢驗(yàn)員每天的檢驗(yàn)速度相等，可得

　　解得：x=4y

　　一個(gè)檢驗(yàn)員一天的檢驗(yàn)速度為：

　　又因?yàn)锽組所檢驗(yàn)的是5個(gè)車間，這5個(gè)車間生產(chǎn)5天的所有成品為5(x+5y)個(gè)，而這5(x+5y)個(gè)成立要B組的人檢驗(yàn)5天，所以B組的人一天能檢驗(yàn)(x+5y)個(gè).

　　因?yàn)樗�有檢驗(yàn)員的檢驗(yàn)速度都相等，所以，(x+5y)個(gè)成品所需的檢驗(yàn)員為：

　　(人).

　　答：B組有12個(gè)檢驗(yàn)員.

　　2011年中考數(shù)學(xué)備考輔導(dǎo)：選擇題精選匯總

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