練習二十九

　　1. 6×6的方格盤，能否用一塊大小為3格，形如 的彎角板與11塊大小為3×1的矩形板，不重迭不遺漏地來鋪滿整個盤面.

　　2. (第49屆蘇聯(lián)基輔數(shù)學競賽題)在兩張1982×1983的方格紙涂上紅、黑兩種顏色，使得每一行及每一列都有偶數(shù)個方格是黑色的.如果將這兩張紙重迭時，有一個黑格與一個紅格重合，證明至少還有三個方格與不同顏色的方格重合.

　　3. 有九名數(shù)學家，每人至多會講三種語言，每三名中至少有2名能通話，那么其中必有3名能用同一種語言通話.

　　4. 如果把上題中的條件9名改為8名數(shù)學家，那么，這個結論還成立嗎?為什么?

　　5. 設n=6(r-2)+3(r≥3)，求證：如果有n名科學家，每人至多會講3種語言，每3名中至少有2名能通話，那么其中必有 r名能用同一種語言通話.

　　6. (1966年波蘭數(shù)學競賽題)大廳中會聚了100個客人，他們中每人至少認識67人，證明在這些客人中一定可以找到4人，他們之中任何兩人都彼此相識.

　　7. (首屆全國數(shù)學冬令營試題)用任意方式給平面上的每一個點染上黑色或白色.求證：一定存在一個邊長為1或 的正三角形，它三個頂點是同色的.

　　練習二十九

　　1.將1、4行染紅色、2、5行染黃色、3、6行染藍色，然后就彎角板蓋住板面的不同情況分類討論.

　　2.設第一張紙上的黑格A與第二張紙上的紅格A′重合.如果在第一張紙上A所在的列中，其余的黑格(奇數(shù)個)均與第二張紙的黑格重合，那么由第二張紙上這一列的黑格個數(shù)為偶數(shù)，知必有一黑格與第一張紙上的紅格重合，即在這一列，第一張紙上有一方格B與第二張紙上不同顏色的方格B′重合.同理在A、B所在行上各有一個方格C、D，第二張紙上與它們重合的方格C′、D′的顏色分別與C、D不同.

　　3.把9名數(shù)學家用點A1，A2，…，A9表示.兩人能通話，就用線連結，并涂某種顏色，以表示不同語種。兩人不通話，就不連線.

　　(1)果任兩點都有連線并涂有顏色，那么必有一點如A1，以其為一端點的8條線段中至少有兩條同色，比如A1A2、A1A3.可見A1，A2，A3之間可用同一語言通話.②如情況①不發(fā)生，則至少有兩點不連線，比如A1、A2.由題設任三點必有一條連線知，其余七點必與A1或A2有連線.這時七條線中，必有四條是從某一點如A1引出的.而這四條線中又必有二條同色，則問題得證.

　　4.結論不成立，如圖所示(圖中每條線旁都有一個數(shù)字，以表示不同語種).

　　5.類似于第3題證明.

　　6.用點A1、A2、…、A100表示客人，紅、藍的連線分別表示兩人相識或不相識，因為由一個頂點引出的藍色的線段最多有32條，所以其中至少有三點之間連紅線.這三個點(設為A1、A2、A3)引出的藍色線段最多為96條.去掉所有這些藍色的線段(連同每條線段上的一個端點AI，I≠1，2，3)，這樣，在圖中至少還剩下四個點，除A1、A2、A3外，設第四點為A4，這四個點中A1，A2，A3每一個點與其它的點都以紅色的線段相連，于是客人A1、A2、A3、A4彼此兩兩相識.

　　7.先利用右圖證明"若平面上有兩個異色的點距離為2，地么必定可以找到符合題意的三角形".再找長為2端點異色的線段.以O(白色)為圓心，4為半徑作圓.如圓內皆白點，問題已證.否則圓內有一黑點P，以OP為底作腰長為2的三角形OPR，則R至少與O、P中一點異色，這樣的線段找到.

　　2011年中考數(shù)學備考輔導：選擇題精選匯總

　　名師解讀南京2011年中考數(shù)學命題趨勢