(3)利用整數(shù)的奇偶性

　　下面我們應(yīng)用第三講介紹的整數(shù)奇偶性的有關(guān)知識(shí)來解幾個(gè)整數(shù)問題.

　　例5 求證:不存在這樣的整數(shù)a、b、c、d使：

　　a·b·c·d-a= ①

　　a·b·c·d-b= ②

　　a·b·c·d-c= ③

　　a·b·c·d-d= ④

　　證明 由①，a(bcd-1)= .

　　∵右端是奇數(shù)，∴左端a為奇數(shù)，bcd-1為奇數(shù).

　　同理,由②、③、④知b、c、d必為奇數(shù)，那么bcd為奇數(shù)，bcd-1必為偶數(shù)，則a(bcd-1)必為偶數(shù)，與①式右端為奇數(shù)矛盾.所以命題得證.

　　例6 (1985年合肥初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,…，xn，其中每一個(gè)不是+1就是-1，

　　且

　　試證n是4的倍數(shù).

　　證明 設(shè) (i=1,2,…，n-1)，

　　則yi不是+1就是-1，但y1+y2+…+yn=0，故其中+1與-1的個(gè)數(shù)相同，設(shè)為k，于是n=2k.又y1y2y3…yn=1，即(-1)k=1，故k為偶數(shù)，

　　∴n是4的倍數(shù).

　　其他方法：

　　整數(shù)a整除整數(shù)b，即b含有因子a.這樣,要證明a整除b,采用各種公式和變形手段從b中分解出因子a就成了一條極自然的思路.

　　例7 (美國第4屆數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題)使n3+100能被n+10整除的正整數(shù)n的最大值是多少?

　　解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.

　　若n+100能被n+10整除,則900也能被n+10整除.而且,當(dāng)n+10的值為最大時(shí),相應(yīng)地n的值為最大.因?yàn)?00的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.

　　例8 (上海1989年高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽)設(shè)a、b、c為滿足不等式1

　　解 ∵(ab-1)(bc-1)(ca-1)

　　=a2b2c2-abc(a+b+c)+ab+ac+bc-1，①

　　∵abc|(ab-1)(bc-1)(ca-1).

　　∴存在正整數(shù)k,使

　　ab+ac+bc-1=kabc, ②

　　k= < < < < ∴k=1.

　　若a≥3，此時(shí)

　　1= - < 矛盾.

　　已知a>1. ∴只有a=2.

　　當(dāng)a=2時(shí)，代入②中得2b+2c-1=bc，

　　即 1= < ∴0

　　說明：在此例中通過對(duì)因數(shù)k的范圍討論，從而逐步確定a、b、c是一項(xiàng)重要解題技巧.

　　例9 (1987年全國初中聯(lián)賽題)已知存在整數(shù)n，能使數(shù) 被1987整除.求證數(shù)

　　，

　　都能被1987整除.

　　證明∵ × × × (103n+ )，且 能被1987整除，∴p能被1987整除.

　　同樣，

　　q= ( )

　　且 ∴ 故 、102(n+1)、 被 除，余數(shù)分別為1000，100，10，于是q表示式中括號(hào)內(nèi)的數(shù)被 除，余數(shù)為1987，它可被1987整除，所以括號(hào)內(nèi)的數(shù)能被1987整除，即q能被1987整除.

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