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　　劉緯宇——數(shù)學教研室

　　(書接上回)

　　前面提過費馬引理的條件有兩個——“可導”和“取極值”，“可導”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質，哪條性質和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。那么最值和極值是什么關系?這個點需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結論是：若最值取在區(qū)間內部，則最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點，則最值不為極值。那么接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內部，此種情況下費馬引理條件完全成立，不難得出結論;若最值均取在區(qū)間端點，注意到已知條件第三條告訴我們端點函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個區(qū)間的表達式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點都能使結論成立。

　　拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基本思路，適用于證其它結論。

　　以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結論。羅爾定理的結論等號右側為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結論作變形，變成羅爾定理結論的形式，移項即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對哪個函數(shù)用羅爾定理的結果。這就是構造輔助函數(shù)的過程——看等號左側的式子是哪個函數(shù)求導后，把x換成中值的結果。這個過程有點像犯罪現(xiàn)場調查：根據(jù)這個犯罪現(xiàn)場，反推嫌疑人是誰。當然，構造輔助函數(shù)遠比破案要簡單，簡單的題目直接觀察;復雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數(shù)求不定積分。

　　(未完待續(xù))

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