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　　●殲滅難點訓練

　　一、選擇題

　　1.(★★★★)定義在(-∞,+∞)上的任意函數(shù)f(x)都可以表示成一個奇函數(shù)g(x)和一個偶函數(shù)h(x)之和，如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(-∞,+∞),那么( )

　　A.g(x)=x,h(x)=lg(10x+10-x+2)

　　B.g(x)= [lg(10x+1)+x],h(x)= [lg(10x+1)-x]

　　C.g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)-

　　D.g(x)=- ,h(x)=lg(10x+1)+

　　2.(★★★★)當a>1時，函數(shù)y=logax和y=(1-a)x的圖象只可能是( )

　　二、填空題

　　3.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)= .則f--1(x-1)=_________.

　　4.(★★★★★)如圖，開始時，桶1中有a L水，t分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y=

　　ae-nt,那么桶2中水就是y2=a-ae-nt,假設過5分鐘時，桶1和桶2的水相等，則再過_________分鐘桶1中的水只有 .

　　三、解答題

　　5.(★★★★)設函數(shù)f(x)=loga(x-3a)(a>0且a≠1),當點P(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖象上的點時，點Q(x-2a,-y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的點.

　　(1)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式;

　　(2)若當x∈[a+2,a+3]時，恒有|f(x)-g(x)|≤1,試確定a的取值范圍.

　　6.(★★★★)已知函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判斷 [f(x1)+f(x2)]與f( )的大小，并加以證明.

　　7.(★★★★★)已知函數(shù)x,y滿足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范圍.

　　8.(★★★★)設不等式2(log x)2+9(log x)+9≤0的解集為M，求當x∈M時函數(shù)f(x)=(log2 )(log2 )的最大、最小值.

　　參考答案

　　難點磁場

　　解：(1)由 >0,且2-x≠0得F(x)的定義域為(-1，1)，設-1

　　F(x2)-F(x1)=( )+( )

　　,

　　∵x2-x1>0,2-x1>0,2-x2>0,∴上式第2項中對數(shù)的真數(shù)大于1.

　　因此F(x2)-F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(-1，1)上是增函數(shù).

　　(2)證明：由y=f(x)= 得：2y= ,

　　∴f-1(x)= ,∵f(x)的值域為R，∴f--1(x)的定義域為R.

　　當n≥3時，f-1(n)> .

　　用數(shù)學歸納法易證2n>2n+1(n≥3),證略.

　　(3)證明：∵F(0)= ,∴F-1( )=0,∴x= 是F-1(x)=0的一個根.假設F-1(x)=0還有一個解x0(x0≠ ),則F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠ ).這是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.

　　殲滅難點訓練

　　一、1.解析：由題意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①

　　又g(-x)+h(-x)=lg(10-x+1).即-g(x)+h(x)=lg(10-x+1) ②

　　由①②得：g(x)= ,h(x)=lg(10x+1)- .

　　答案：C

　　2.解析：當a>1時，函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選，又a>1時，y=(1-a)x為減函數(shù).

　　答案：B

　　二、3.解析：容易求得f- -1(x)= ,從而：

　　f-1(x-1)=

　　答案：

　　4.解析：由題意，5分鐘后，y1=ae-nt,y2=a-ae-nt,y1=y2.∴n= ln2.設再過t分鐘桶1中的水只有 ,則y1=ae-n(5+t)= ,解得t=10.

　　答案：10

　　三、5.解：(1)設點Q的坐標為(x′,y′),則x′=x-2a,y′=-y.即x=x′+2a,y=-y′.

　　∵點P(x,y)在函數(shù)y=loga(x-3a)的圖象上，∴-y′=loga(x′+2a-3a),即y′=loga ,∴g(x)=loga .

　　(2)由題意得x-3a=(a+2)-3a=-2a+2>0; = >0,又a>0且a≠1,∴02a.f(x)=x2-4ax+3a2在[a+2,a+3]上為減函數(shù)，∴μ(x)=loga(x2-4ax+3a2)在[a+2,a+3]上為減函數(shù)，從而[μ(x)]max=μ(a+2)=loga(4-4a),[μ(x)]min=μ(a+3)=loga(9-6a),于是所求問題轉(zhuǎn)化為求不等式組 的解.

　　由loga(9-6a)≥-1解得0

　　∴所求a的取值范圍是0

　　6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,

　　∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤( )2(當且僅當x1=x2時取“=”號)，

　　當a>1時，有l(wèi)ogax1x2≤loga( )2,

　　∴ logax1x2≤loga( )， (logax1+logax2)≤loga ,

　　即 f(x1)+f(x2)]≤f( )(當且僅當x1=x2時取“=”號)

　　當0

　　∴ (logax1+logax2)≥loga ,即 [f(x1)+f(x2)]≥f( )(當且僅當x1=x2時取“=”號).

　　7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax-1)2+(logay-1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,則(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐標系uOv內(nèi)，圓弧(u-1)2+(v-1)2=4(uv≥0)與平行直線系v=-u+k有公共點，分兩類討論.

　　(1)當u≥0,v≥0時，即a>1時，結(jié)合判別式法與代點法得1+ ≤k≤2(1+ );

　　(2)當u≤0,v≤0,即01時，logaxy的最大值為2+2 ，最小值為1+ ;當0

　　8.解：∵2( x)2+9( x)+9≤0

　　∴(2 x+3)( x+3)≤0.

　　∴-3≤ x≤- .

　　即 ( )-3≤ x≤ ( ) ��

　　∴( ) ≤x≤( )-3,∴2 ≤x≤8

　　即M={x|x∈[2 ,8]}

　　又f(x)=(log2x-1)(log2x-3)=log22x-4log2x+3=(log2x-2)2-1.

　　∵2 ≤x≤8,∴ ≤log2x≤3

　　∴當log2x=2,即x=4時ymin=-1;當log2x=3,即x=8時，ymax=0.

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