五、計算機數(shù)據(jù)表示
1.二進制計數(shù)制
引入二進制數(shù)字系統(tǒng)的計算機結構和性能具有如下的優(yōu)點:
（1）技術實現(xiàn)容易。
（2）二進制運算規(guī)則簡單。
（3）計算機中二進制數(shù)的0、1數(shù)碼與邏輯代數(shù)變量值0與1吻合，所以二進制同時可以使計算機方便地進行邏輯運算。
（4）二進制數(shù)和十進制數(shù)之間的關系亦不復雜。
2.任意進制計數(shù)制和十進制計數(shù)制的相互轉換
十進制數(shù)轉換成二進制數(shù):
十進制數(shù)據(jù)轉換為二進制數(shù)時，因整數(shù)部分與小數(shù)部分轉換算法不同，需要分別進行。
（1）整數(shù)轉換方法———除基取余法
十進制整數(shù)除以2取余數(shù)作最低位系數(shù)k 0 ，再取商的繼續(xù)除以2取余數(shù)作高一位的系數(shù)，如此繼續(xù)直到商為0時停止，最后一次的余數(shù)就是整數(shù)部分最高有效位的二進制系數(shù)，依次所得到的余數(shù)序列就是轉換成的二進制數(shù)。因為除數(shù)2是二進制的基數(shù)，所以這種算法稱作“除基取余”法。
（2）小數(shù)轉換方法———乘基取整法
把十進制小數(shù)乘以2，取其積的整數(shù)部分作為對應二進制小數(shù)的最高位系數(shù)k -1 ，再取積的純小數(shù)部分乘以2，新得積的整數(shù)部分又作下一位的系數(shù)k -2 ，再取其積的純小數(shù)部分繼續(xù)乘2，…，直到乘積小數(shù)部分為0時停止，這時乘積的整數(shù)部分是二進制數(shù)最低位系數(shù)，每次乘積得到的整數(shù)序列就是所求的二進制小數(shù)，這種方法每次乘以基數(shù)取其整數(shù)作系數(shù)。所以叫乘基取整法。需要指出的是并不是所有十進制小數(shù)都能轉換成有限位的二進制小數(shù)并出現(xiàn)乘積的小數(shù)部分0的情況，有時整個換算過程會無限進行下去，此時可以根據(jù)要求并考慮計算機字長，取一定長度的位數(shù)后四舍五入，這時得到的二進制數(shù)是原十進制數(shù)的近似值。
一個既有整數(shù)部分又有小數(shù)的數(shù)送入計算機后，由機器把整數(shù)部分按“除基取余”法，小數(shù)部分按“乘基取整”法分別進行轉換，然后合并。任意進制數(shù)轉換成十進制數(shù):
任意一種進位計數(shù)制的數(shù)轉換成十進制數(shù)的方法都是一樣的。把任意進制數(shù)按權展開成多項式和的形式，把各位的權與該位上的數(shù)碼相乘，乘積逐項相加，其和便是相應的十進制數(shù)。十進制數(shù)轉換成任意進制數(shù):
十進制數(shù)轉換成任意進制數(shù)與十進制數(shù)轉換成二進制數(shù)的方法完全相同，即整數(shù)部分用除基取余的算法，小數(shù)部分用乘基取整的方法，然后將整數(shù)與小數(shù)拼接成一個數(shù)作為轉換的最后結果。
3.數(shù)的機器碼表示
符號數(shù)的機器碼表示:
（1）機器數(shù)和真值
數(shù)在計算機中的表示形式統(tǒng)稱為機器數(shù)。機器數(shù)有兩個基本特點，其一，數(shù)的符號數(shù)值化。實用的數(shù)據(jù)有正數(shù)和負數(shù)，因為計算機只能表示0、1兩種狀態(tài)，數(shù)據(jù)的正號“+”或負號“-”，在機器里就用一位二進制的0或1來區(qū)別。通常這個符號放在二進制數(shù)的最高位，稱符號位，以0代表符號“+”，以1代表符號“-”，這樣正負符號就被數(shù)值化了。因為有符號占據(jù)一位，數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值，帶符號位的機器數(shù)對應的數(shù)值稱為機器數(shù)的真值。
機器數(shù)的另一個特點是二進制的位數(shù)受機器設備的限制。機器內(nèi)部設備一次能表示的二進制位數(shù)叫機器的字長，一臺機器的字長是固定的。字長8位叫一個字節(jié)（Byte），現(xiàn)在機器字長一般都是字節(jié)的整數(shù)倍，如字長8位、16位、32位、64位。
符號位數(shù)值化之后，為能方便的對機器數(shù)進行算術運算、提高運算速度，計算機設計了多種符號位與數(shù)值一起編碼的方法，最常用的機器數(shù)表示方法有三種:原碼、反碼和補碼。
（2）原碼表示法和反碼表示法
一個機器數(shù)X由符號位和有效數(shù)值兩部分組成。設符號位為X 0 ，X真值的絕對值|X|=X 1 X 2 …X n ，X的機器數(shù)原碼表示為:
［X]原 =X0X1X2…Xn
當 X≥0時，X0 =0
當 X<0時，X0 =1
原碼表示很直觀，但原碼加減運算時符號位不能視同數(shù)值一樣參加運算，運算規(guī)則復雜，運算時間長，而計算機大量的數(shù)據(jù)處理工作是加減運算，原碼表示就很不方便了。
一個負數(shù)的原碼符號位不動，其余各位取相反碼就是機器數(shù)的另一種表示形式———反碼表示法。正數(shù)的反碼與原碼相同。
設[X]原 =X0X1X2…Xn
當 X0 =0時，［X]反 =X0X1X2…Xn
當 X0 =1時，［X]反 =X0X1X2…Xn
（3）補碼表示法（complement）
設計補碼表示法的目的是:①使符號位能和有效數(shù)值部分一起參加數(shù)值運算從而簡化運算規(guī)則，節(jié)省運算時間。②使減法運算轉化成加法運算，從而進一步簡化計算機中運算器的線路設計。計算機是一種有限字長的數(shù)字系統(tǒng)，因此都是有模運算，超過模的運算結果都將溢出。n位二進制整數(shù)的模是2 n 。
對于二進制數(shù)還有一種更加簡單的方法由原碼求得補碼。①正數(shù)的補碼表示與原碼一樣，［X］ 補 =［X］ 原
②負數(shù)的補碼是將原碼符號位保持“1”之后其余各位取相反的碼，末位加1便得到補碼，即取其原碼的反碼再加1∶［X］ 補 =［X］ 反 +1。
真值+0和-0的補碼表示是一致的，但在原碼和反碼表示中具有不同的形式。8位補碼機器數(shù)可以表示-128，但不存在+128的補碼，由此可知8位二進制補碼能表示數(shù)的范圍是-128～+127。應該注意，不存在-128的8位原碼和反碼形式。
根據(jù)互補的概念，一個補碼機器數(shù)再求一次補就得到機器數(shù)的原碼了。定點數(shù)與浮點數(shù):
（1）定點數(shù)（fixed-point number）
計算機處理的數(shù)據(jù)不僅有符號，而且大量的數(shù)帶有小數(shù)，小數(shù)點不占有二進制位而是隱含有機器數(shù)里某固定位置上。通常采用兩種簡單的約定:一種是約定所有機器數(shù)的小數(shù)點位置隱含在機器數(shù)的最低位之后，叫定點純整數(shù)機器數(shù)，簡稱定點整數(shù)。
另一種約定是所有機器數(shù)的小數(shù)點位置隱含在符號位之后、有效數(shù)值部分最高位之前，叫定點純小數(shù)機器數(shù)，簡稱定點小數(shù)。
計算機采用定點數(shù)表示時，對于既有整數(shù)又有小數(shù)的原始數(shù)據(jù)，需要設定一個比例因子，數(shù)據(jù)按比例因子縮小成定點小數(shù)或擴大成定點整數(shù)再參加運算，結果輸出時再按比例折算成實際值。n位原碼定點整數(shù)的表示范圍是-（2 n-1 -1）≤X≤2 n-1 -1，n位原碼定點小數(shù)的表示范圍是-（1-2 -（n-1） ）≤X≤1-2 -（n-1） 。當機器數(shù)小于定點數(shù)的最小值時，被當作0處理，超出定點數(shù)的最大值時，機器無法表達，稱作“溢出”，此時機器將停止運算，屏幕顯示溢出警告。
定點數(shù)表示方法簡單直觀，不過定點數(shù)表示數(shù)的范圍小，不易選擇合適的比例因子，運算過程容易產(chǎn)生溢出。